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REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



une nouvelle extension de l'ensemble des éléments, à l'introduction 

 des quantités complexes. On constitue ainsi l'ensemble du cinquième 

 ordre auquel appartient celui des nombres positifs et négatifs, et, par 

 suite, chacun des précédents. 



Enfin, des questions d'un autre ordre, la représentation symbo- 

 lique de certaines grandeurs, conduisent encore à de nouvelles géné- 

 ralisations, et ainsi se constitue, sans qu'il soit possible d'en aperce- 

 voir le terme, la série des ensembles de plus en plus généraux qui 

 s'imposent successivement à notre étude et qui forment la base de 

 toute l'analyse. 



Il ne faut cependant pas croire que plus l'ordre de l'ensemble au- 

 quel on s'adresse est élevé, plus l'intérêt qu'il présente est considérable. 

 Des propriétés et des applications nouvelles peuvent, il est vrai, ap- 

 paraître; c'est ainsi que la continuité, qui est appelée à jouer un si 

 grand rôle dans l'étude des ensembles d'ordre plus élevé, apparaît 

 avec l'ensemble des nombres rationnels; quand on est en possession 

 des nombres rationnels et irrationnels on peut mesurer toute gran- 

 deur mesurable; avec les nombres positifs et négatifs on arrive à la 

 représentation des grandeurs à deux sens inverses l'un de l'autre, etc. 

 Mais, par contre, à mesure que les ensembles s'élargissent, les opé- 

 rations fondamentales auxquelles sont soumis leurs éléments peuvent 

 perdre de leurs propriétés. On le conçoit aisément, puisque c'est en 

 introduisant des éléments nouveaux que l'on passe d'un ensemble à 

 ceux d'ordres plus élevés. Ainsi, pour ne citer qu'un exemple simple, 

 dans l'ensemble des nombres rationnels et irrationnels, l'extraction 

 de la racine carrée est une opération qui conduit à la connaissance 

 d'un seul nombre ; outre qu'elle n'est plus toujours possible, elle 

 conduit à un résultat ambigu dans l'ensemble des nombres positifs et 

 négatifs. 



Gomment peut-on procéder à l'étude d'un ensemble déterminé? 

 Deux voies semblent naturellement s'olfrir. La première consiste à 

 partir de l'ensemble d'ordre immédiatement inférieur; à annexer à 

 ses éléments les éléments nouveaux qui doivent être introduits pour 

 obtenir l'ensemble que l'on veut étudier, puis à étendre celles des dé- 

 finitions, celles des propriétés qui, applicables pour l'ensemble qui 

 sert de point de départ, peuvent encore convenir à celui auquel on ar- 

 rive. Ainsi l'on peut passer, par une sorte de synthèse, de l'ensemble 

 d'ordre le moins élevé, successivement, aux ensembles d'ordres plus 

 élevés. C'est la voie qui est toujours suivie pour les ensembles d'ordre 

 inférieur; c'est ainsi que, des propriétés des nombres entiers, on 

 conclut d'abord à celles des nombres fractionnaires, puis, réunissant 



