﻿ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 1095 



les deux catégories de nombres, on se trouve en possession des pro- 

 priétés des nombres rationnels, qui forment l'ensemble du second 

 ordre; c'est ainsi encore qu'on passe d'abord des nombres rationnels 

 aux nombres irrationnels pour conclure ensuite aux propriétés de 

 l'ensemble du troisième ordre qui comprend, à la fois, les deux espè- 

 ces de nombres. C'est aussi la voie que semble avoir suivie la science 

 elle-même dans son développement, allant du simple au composé; 

 et cependant ce n'est pas celle qui est suivie pour l'étude des ensem- 

 bles d'ordre plus élevé. 



Icij dès que l'on a reconnu la nature des éléments qui doivent com- 

 poser l'ensemble à étudier, on les définit de toutes pièces, pour ainsi 

 dire en bloc, sans distinguer ceux d'entre eux qui correspondront aux 

 éléments de l'ensemble d'ordre inférieur. De même se définissent à 

 nouveau, pour tous les éléments sans distinction, les opérations aux- 

 quelles ils doivent être soumis, et ainsi peut être faite, entièrement, 

 l'étude de l'ensemble, sans qu'on l'ait rattaché effectivement à aucun 

 autre. Après seulement on distingue parmi ses éléments ceux qui 

 constituent l'ensemble de l'ordre inférieur, et l'on fait remarquer que 

 les opérations que l'on a définies, appliquées en particulier à ces élé- 

 ments spéciaux, reproduisent certaines des opérations relatives à cet 

 ensemble. Ainsi, quand on a reconnu la nécessité de l'introduction 

 des quantités complexes, on les définit a priori, on définit les opéra- 

 tions d'addition, de multiplication, etc., puis l'on remarque que ces 

 opérations appliquées aux quantités complexes où le coefficient de 

 sj — î est nul, quantités qui peuvent être regardées comme consti- 

 tuant l'ensemble des nombres positifs et négatifs., ne sont autres que 

 ces mêmes opérations définies dans l'étude de cet ensemble. 



Cette seconde méthode, quia tousles défauts des qualités de l'autre, 

 a cependant un côté précieux. Elle a l'avantage de mettre tous les 

 éléments qui constituent l'ensemble à étudier sur un même plan, de 

 leur attribuer, dès le début, un rôle équivalent, et par là de placer 

 sous son véritable jour l'étude nouvelle, que l'on entreprend, d'un 

 ensemble nouveau. 



C'est celle que nous avons adoptée pour notre étude des propriétés 

 fondamentales des nombres positifs et négatifs. Dans ce cas spécial, 

 l'avantage que nous venons de lui reconnaître emprunte, en effet, à 

 une circonstance toute particulière, une nouvelle importance. La nature 

 des nombres positifs et négatifs est telle que, pour les représenter de 

 la façon la plus simple, il n'est pas besoin de créer de nouveaux sym- 

 boles : ceux dont on fait usage dans l'étude de l'ensemble des nombres 

 rationnels et irrationnels suffisent. Mais il faut pour cela atiribuer 



