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REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Parmi les fonctions particulières que j'étudie, je signalerai les 

 fonctions algébriques et les intégrales abéliennes. Un chapitre traite 

 des surfaces de Riemann, dont l'étude a été laissée un peu trop de 

 côté en France ; on peut, par une représentation géométrique conve- 

 nable, rendre intuitifs les principaux résultats de cette théorie. Cette 

 vue claire de la surface de Riemann une fois obtenue, toutes les ap- 

 plications se déroulent avec la même facilité que dans la théorie clas- 

 sique de Cauchy relative au pian simple. Mais il importe de juger à 

 sa véritable valeur la belle conception de Riemann. Ce serait une 

 vue incomplète que de la regarder seulement comme une méthode 

 simplificative pour présenter la théorie des fonctions algébriques. 

 Si importante que soit la simplification apportée dans cette étude 

 parla considération de la surface à plusieurs feuillets, ce n'est pas là 

 ce qui fait le grand intérêt des idées de Riemann. Le point essentiel 

 de sa théorie est dans la conception a pilori de la surface connexe 

 formée d'un nombre limité de feuillets plans, et dans le fait qu'à une 

 telle surface conçue dans toute sa généralité correspond une classe de 

 courbes algébriques. Nous n'avons donc pas voulu mutiler la pensée 

 profonde de Riemann, et nous avons consacré un chapitre à la ques- 

 tion difficile et capitale de l'existence des fonctions analytiques sur 

 une surface de Riemann arbitrairement donnée ; le problème même 

 est susceptible de se généraliser si l'on prend une surface fermée ar- 

 bitraire dans l'espace et qu'on considère l'équation de Beltràmi qui 

 lui correspond. 



J'avais annoncé dans le premier volume que je comptais m'occuper 

 surtout dans ce traité de la théorie des équations différentielles. On 

 trouvera ici un seul chapitre consacré à cette théorie telle qu'on l'en- 

 tend ordinairement dans les ouvrages classiques. Je pourrais pré- 

 texter que l'équation de Laplace est une équation différentielle ; j'aime 

 mieux avouer que mon plan s'est un peu élargi. Je m'occuperai par- 

 ticulièrement, dans le tome III, de l'étude des équations différen- 

 tielles, mais je n'oserais pas affirmer cependant que je n'aurais pas 

 encore plusieurs parenthèses à ouvrir. 



Voici la table des matières du volume : 



Ghap. t. Fonctions d'une variable complexe. Problèmes fonda- 

 mentaux relatifs à l'équation de Laplace dans le plan. Définition 

 des fonctions d'une variable complexe. Dérivée. Intégrale. Fonction 

 harmonique. Formule fondamentale. Les fonctions harmoniques sont 

 analytiques. Détermination unique des fonctions harmoniques par 

 leurs valeurs sur un contour feçmé. Extension à l'équation linéaire 

 générale du second ordre de quelques-uns des résultats obtenus par 



