56 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Note sur les intégrales pseudo-elliptiques, par M. Goursat. 

 [Bulletin de la Soc. math., t. XV, p. 106.) 



L'auteur établit d'abord par une méthode nouvelle un résultat 

 déjà obtenu par M. Raffy. 



[N; M"l 

 t, — une substitution de période 2 permutant deux 



à deux les racines de l'équation du quatrième degré R(^) zzzo; et 

 soit ^<[t) une fonction rationnelle telle que l'on ait identiquement 



l'intégrale 





est une intégrale pseudo-elliptique. Il montre ensuite que si Sp 

 S2, S3 sont les trois substitutions linéaires de période 2 qui per- 

 mutent deux à deux les quatre racines de R(^), et que ^[t) désigne 

 une fonction rationnelle vérifiant l'identité 



mt M\ 



où ^(S) signifie ^f- -\, l'intégrale 



i 





\/R{t] 



est encore pseudo-elliptique. 



Si les 4 racines sont quelconques, il n'existe pas d'autres subs- 

 titutions que les 3 précédentes qui permutent ces racines. Mais 

 pour certaines formes spéciales de R(7), il existe d'autres subs- 

 titutions de cette espèce, auxquelles se rattachent des intégrales 

 pseudo-elliptiques. 



S'il existe une substitution (S) laissant invariable une des 

 racines et permutant les 3 autres circulairement, S sera néces- 

 sairement de période 3. Soit maintenant F (;) vérifiant l'identité 

 F(S)=:aF; l'intégrale 



p(,) "' 



/ 



v/r(0 



pourra s'exprimer en termes finis au moyen d'éléments simples. 



