64 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



2° Si la surface fondamentale est un hyperboloïde à deux nappes, 

 la géométrie quadratique ne diffère pas de celle de Lobatchevski. 



30 Si la surface fondamentale est un hyperboloïde à une nappe, 

 on a une troisième géométrie quadratique, non encore signalée 

 et qui comporte diverses conséquences dont la nature paradoxale 

 a du la dérober à l'attention des géomètres. 



La géométrie d'Euclide correspond au cas limite où la surface 

 fondamentale dégénère en paraboloïde elliptique. 



Quelles sont donc les hypothèses communes à toutes les géomé- 

 tries quadratiques ? 



Il y en a deux, qui sont nécessaires : 



A. Le plan a deux dimensions ; 



B. La position d'une figure plane dans son plan est déterminée 

 par trois conditions. 



Ces deux premières hypothèses laissent le choix entre les 

 diverses géométries quadratiques et deux autres géométries qui se 

 trouveront exclues par une troisième hypothèse : 



C. Quand une figure plane ne quitte pas son plan et que deux 

 de ses points restent immobiles, la figure tout entière reste 

 immobile. 



On n'a plus alors à choisir qu'entre les diverses géométries 

 quadratiques. Toutes se trouveront écartées, à l'exception de la 

 géométrie euclidienne, si l'on introduit le postulat d'Euclide. 



Maintenant ces hypothèses sont-elles des faits expérimentaux, 

 des jugemente analytiques, ou des jugements synthétiques a 

 priori? M. Poincaré répond négativement à ces trois questions. 

 Il montre que la géométrie n'est autre que l'étude d'un groupe et 

 en ce sens la vérité de la géométrie d'Euclide n'est pas incompa- 

 tible avec celle de la géométrie de Lobatchevski, puisque l'exis- 

 tence d'un groupe n'est pas incompatible avec celle d'un autre 

 groupe. Le groupe choisi dans la géométrie euclidienne est seule- 

 ment plus commode. 



Développement en produit des fonctions © et H de Jacobi^ et 



RECHERCHE DES VALEURS DE CES FONCTIONS QUAND LES PÉRIODES SONT 



divisées par UN NOMBRE ENTIER^ par M. DE Presles. {Bulletin de la 

 Soc. matliém.^ t. XV^ p. 216.) 



L. R. 



