68 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



et qui iait connaître les coefficients P^, P^, P3, P^. Enfin V est 

 l'invariant de M. Halphen 



3oV=: — P;'4-3P/— 6P1P/— 2P3 + 6P,P, — 4P;. 



La formule est en défaut si V=o; elle doit alors être rem- 

 placée par celle-ci: 

 (2) ÇiXi = /i,\}. + uhi" + (2P1W — u')hi' 



_|- [(SP^ _ 2P? — 2P/)w — Py + - m" + a U,-, 



a étant une constante. 



Si pour Aj, Ao, A3, h^, u on prend des fonctions algébriques 

 quelconques, les formules précédentes font connaître, sous forme 

 explicite toutes les surfaces réglées dont les asymptotiques sont 

 algébriques. 



Elle fournissent aussi, sans exiger d'intégration, la solution 

 générale de ce problème : 



Une courbe {h) étant donnée, trouver une courbe [g) correspon- 

 dant point par point à (h) de sorte que le plan osculateur en 

 un point (M) de h passe au point correspondant M' de {g) et que 

 le plan osculateur de {g) en M' passe aussi par M. 



Sur les systèmes de courbes qui divisent homographiquemem une 

 SUITE de cercles, par M. Demartres. {Comptes rendus de l'Acad. 

 des sciences, t. CVI, 1888, p. 54.) 



L'auteur fait connaître l'équation de tous les systèmes de courbes 

 qui, sur une surface cerclée, divisent homographiquement les géné- 

 ratrices circulaires. 11 existe une infinité de pareils systèmes dont 

 la détermination dépend de trois fonctions arbitraires d'un para- 

 mètre. 



Sur toute surface cerclée il existe trois (et seulement trois) 

 systèmes doubles de courbes orthogonales, telles que les lignes 

 de chaque famille divisent homographiquement les génératrices 

 circulaires. Chacun de ces systèmes correspond à un couple de 

 sécantes focales opposées. 



A ce théorème, M. Demartres en ajoute quelques autres : 



1° Pour que les lignes de distance nulle divisent homographi- 

 quement les génératrices circulaires, il faut et il suffît que la sur- 

 face soit enveloppe de sphère ou à focale isotrope; 



