ANALYSES ET ANNONCES. — IVIATHÉxMATIQUES 137 



satisfasse aux conditions trouvées par M. Fuchs. Comme on con- 

 naît alors une de ces lignes sans intégration, on pourra générale- 

 ment obtenir l'intégrale par des quadratures ou des opérations 

 algébriques. 



Par exemple, si (B est fonction rationnelle de x, y, z, il faut et 

 il suffît que les points de rebroussement des lignes étudiées et 

 leurs points de contact avec les lignes azzi Const. soient distribués 

 le long de certaines lignes a ht const. 



Dans le cas particulier des surfaces réglées non développables, 

 les conditions cherchées sont les suivantes : 



1° Ou bien le cône des tangentes asymptotiques le long des gé- 

 nératrices est de révolution. 



2" Ou bien le cône est tangent au cône isotrope et la surface 

 admet deux génératrices rectilignes isotropes, ou une directrice 

 isotrope et une trajectoire orthogonale minima de génératrices, 

 ou deux de ces trajectoires. Les surfaces contenues dans ce groupe 

 sont imaginaires, sauf les quadriques. 



3° Ou bien la surface admet quatre directrices isotropes, ou 

 trois directrices rectilignes isotropes et une trajectoire minima, 

 ou deux droites isotropes et deux trajectoires. Ce groupe ne con- 

 tient que les surfaces du second degré. 



Sur une formule d'arithmétique, par M. Lekch. [Comptes rendus de 

 l'Acad, des sciences, t. CVl, 1888, p. 186.) 



Si l'on désigne par ^ {p,q) le nombre des diviseurs de p supé- 

 rieurs à q, on a la formule 



(7 = l=zl 



d'où l'on déduit aisément ces deux-ci 



V 6(^rn — a, a) iz 0, \ (J>(m-[-a, a) zz: 27n, 

 a = a =0 



dont la première ne diffère que par la forme d'une formule de 

 M. Catalan. 



Rev. des trav. scient. — T. IX, a" 2. 10 



