ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 193 



Des ; — - produits deux à deux de ces matrices, 



4 2 



il n'y en a que — ^^ qui diffèrent de la matrice ze- 



roïdale. 



On peut enfin déterminer les conditions que doivent remplir 

 les constantes extérieures, pour que ce soit une puissance de (M) 



I In 



inférieure à n qui produise la matrice zéroïdale. 



Théorème sur les équations algébriques et les fonctions quadra- 

 tiques, par M. Poulain. (Comp^e^ rendus de l'Acad. des sciences, 

 t. GVI, 1888, p. 470.) 



Newton (ou plutôt Campbell) a énoncé cette règle pour recon- 

 naître l'existence de racines imaginaires dans les équations algé- 

 briques : 



Étant donnée l'équation numérique 



Ao^:^ + A,x^'-' + . . . + Koo"^-' + . . . + A^ =: o, 



si l'on pose 



r' zzzm — r 



x,= 



(r+i)(,.' + i)' 



JJr IZI Ày.A^ — A^ i A,._|_ j j 



et si l'on écrit la suite des signes que prend la fonction quadra- 

 tique Br pour r=o, 1, 2. ... m, l'équation a au moins autant de 

 racines imaginaires qu'il y a de variations dans cette suite 



M. Poulain fait remarquer que cette règle subsiste : 1° si dans 

 les fonctions quadratiques on supprime les X et, plus générale- 

 ment, si l'on divise chaque facteur X par V^; ou 20 si l'on multiplie 



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 les X successifs par i -\- -, i -\ , 1 -j , ou par une puis- 



sance n de ces nombres; ou 3°, si l'on multiplie tous les X par un 

 même facteur arbitraire K positif et supérieur à 1. 



L'auteur énonce encore deux théorèmes indépendants de la lo 

 de Newton : 



Le nombre des racines positives d'une équation et celui des 

 racines négatives n'augmentent pas quand on multiplie respecti- 



Revue des Trav. scient. — T. IX, n» 3. 14 



