ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 281 



Sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles qui sont 

 DÉPOURVUS d'intégrales cOxNtrairement a toute prévision, par 

 M. MÉRAY. [Comptes rendus de l'Acad. des sciences, t. CVI, 1888, 

 p. 648.) 



On admet habitaellement qu'un système d'équations différen- 

 tielles possède des intégrales dans tous les cas où il est possible 

 d'en construire les développements par la série de Taylor. Mais 

 cette proposition souffre de nombreuses exceptions. 



Par exemple, si l'on cherche les fonctions u, v de x, y qui 

 satisfont au système 



, , au . ^^àu ai) dv 



àx oy dy àx 



H désignant une constante réelle positive, et aux conditions ini- 

 tiales 

 (2) M = ?/ (pour a; zz 0), v zz x [poury zizo), 



on reconnaît que, si ces fonctions existent, les équations (1) et (2) 

 différentiées de toutes manières fournissent, en y faisant xzizy — o, 

 les valeurs correspondantes de toutes les dérivées de u, v, et per- 

 mettent ainsi de développer u, v en séries de Maclaurin. 

 Pour H=: 1, ces fonctions existent et leurs expressions 



[x -\- y] (sin x -\- cos y) [x -{- y) (sin y + cos x) 



■ ' cos(x-\-y) ' co^{x-\-y) ' 



sont développables en séries convergentes. 



Elles existent a fortiori pour H<<i . Mais pour H>>i , elles cessent 

 d'exister, ce que M. Méray montre en faisant voir que leur déve- 

 loppement conduirait à des séries entières dont le rayon de con- 

 vergence ne peut surpasser zéro. 



Remarque sur la communication précédente, par M. Darboux. 

 {Comptes rendus de tAcad. des sciences, t. GVI, 1888, p. 65i.) 



Mfne de Kowalevsky a déjà signalé [J. de Crelle, t. LXXXj un 

 exemple analogue à celui qu'indique M. Méray. Si l'on cherche à 

 déterminer la fonction qui satisfait à l'équation 



ô? Ô^CP 



àx'~'ày^ ' 



