ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 297 



les polynômes de Legendreet plus généralement suivant les poly- 

 nômes qui proviennent de la réduction en fraction continue de 

 l'intégrale 



/: 



az 



ordonnée suivant les puissances décroissantes de x. 



La méthode s'étend au développement d'une fonction de deux 

 angles en série de fonctions sphériques. 



Sur les courbes de M. Bertrand, considérées comme lignes géodé- 

 siQUES DE SURFACES CERCLÉES, par M. Demartres. {Comptes rendus 

 de VAcad. des sciences, t. GYI, 1888, p. io65.) 



Trouver les surfaces dont chaque génératrice circulaire est 

 inclinée d'un raême angle z sur une même famille de lignes géodé- 

 siques, cet angle pouvant, d'ailleurs, varier d'une génératrice à 

 la suivante. 

 Voici la solution que M. Demartres donne de ce problème : 

 On prend une ligue dont la courbure et la torsion soient liées 

 par la relation 



cos i , sin i \ 



De chaque point de cette courbe comme centre on décrit un 

 cercle de rayon constant a, le plan de ce cercle passant par la 



normale principale et faisant un angle - -- i avec le plan o^cula- 



teur. Le cercle ainsi défini engendre la surface cherchée. Les 

 trajectoires, sous l'angle z, des génératrices circulaires sont des 

 lignes géodésiques. 



Toutes les trajectoires sont des courbes de M, Bertrand, et, par 

 suite, d'une pareille courbe on peut, par les trajectoires d'un 

 cercle de rayon constant, en déduire une infinité d'autres aux 

 mêmes paramètres que la première. 



En faisant 7=i-, on retrouve ce théorème de M. Lie : Si de 

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chaque point d'une courbe à torsion constante -, on décrit, dans 



a 



