ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 351 



dans laquelle f[x) représente un polynôme d'un degré égal ou 

 supérieur à n, a au moins autant de racines réelles que l'équation 

 f[x] zzz 0, et, si elle en a davantage, l'excédent est un nombre 

 pair. 



De là suit que, si les équations F(a?)iz=o et f{x) z= o, ont toutes 

 leurs racines réelles, il en est de même de l'équation ^{x) = o. 



En particularisant soit F{x) soit f{x), M. Fouret obtient des types 

 remarquables d'équations algébriques ayant toutes leurs racines 

 réelles. On peut citer celle qui correspond à F{x) ^{x -\- i )", savoir : 



n! 1 ! (n — i)! 2 ! [n — 2)1 ' 



qui a fait l'objet d'importantes recherches de la part d'Abel, Tche- 

 bichef, Laguerre et Halphen. 



Sur deux théorèmes de Jacobi relatifs aux lignes géodésiques, par 

 M. Paraf. {Comptes rendus de VAcad. des sciences, t. CVI, 1888, 

 p. 1139.) 



La ligne géodésique qui joint deux points d'une surface n'est 

 pas nécessairement la ligne la plus courte et n'est même pas tou_ 

 jours minima par rapport aux courbes infiniment voisines. 



Jacobi a énoncé à ce sujet (/. de Crelle, t. XVII), deux théo- 

 rèmes qu'il ne démontre pas, mais dont M. Paraf donne actuelle- 

 ment la démonstration : 



1" L'arc de géodésique AB est véritablement un minimum si la 

 géodésique voisine AM ne va pas couper AB entre A et B ; 



2^ Sur toute surface à courbures opposées les lignes géodé- 

 siques sont véritablement les plus courtes. 



A la suite de la communication de M. Paraf, M. 0. Bonnet fait 

 observer qu'il a publié [Comptes rendus^ t. XL et XLI) deux notes 

 renfermant les résultats précédents. On trouve même dans la pre- 

 mière note plusieurs propriétés que Jacobi n'avait pas signalées, 

 entre autres celle-ci : si dans une surface convexe la courbure 



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 totale est toujours positive et supérieure à la constante -^, toute 



géodésique ne pourra être minima dans une étendue supérieure ou 

 égale à iza. 



