ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 353 



Sur certains types d'équations algébriques ayant toutes leurs 

 RACINES RÉELLES, par M. FouRET. {Comptes rendus de VAcad. des 

 sciences^ t. CVI, 1888, p. 1220.) 



Après avoir reconnu que le théorème démontré dans sa der- 

 nière communication avait déjà été indiqué par M. Hermite, 

 M. Fouret fait connaître une nouvelle source d'équations algé- 

 briques ayant toutes leurs racines réelles : 



Si ({[x] est un polynôme entier de degré n dont les facteurs li- 

 néaires sont tous réels, f{x) un polynôme entier d'un degré égal 

 ou supérieur à w, et a un nombre quelconque, mais non compris 

 entre — 1 et — (2^ -{- 1), l'équation 



*W-/W p! +a+i(„_i)! + -+(a+i)...(a+n)'^''^-" 



a au moins autant de racines réelles que l'équation f[x):zzo, et, 

 si elle en a davantage, l'excédent est un nombre pair. 



En particulier, l'équation F{x) zz a toutes ses racines réelles, 

 si f{x) = a elle-même toutes ses racines réelles. 



Sur les conséquences de l'égalité acceptée entre la valeur vraie 

 d'un polynôme et sa valeur moyenne, par M. Bertrand. (Comptes 

 7'endus de VAcad. des sciences^ t. CVI, 1888, p. 1259.) 



M. Bertrand montre par un exemple que la règle de Gauss qui 

 donne a fostei^iori la précision d'un système d'observations n'est 

 pas justifiée. 



« Le théorème de Gauss sur la somme des carrés des erreurs 

 indiquées par la méthode des moindres carrés, dit à la fin de sa 

 note M. Bertrand, n'en reste pas moins un admirable résultat 

 algébrique, et c'est avec grand plaisir que je présente à l'Acadé- 

 mie, pour être insérée dans ce numéro de nos Comptes rendus^ 

 une élégante démonstration de M. Guyou. » 



Preuve élémentaire du théorème de Dirichlet sur les progressions 

 arithmétiques dans le cas ou la raison est 8 ou 12, par M. Syl- 

 VESTER. [Comptes rendus de VAcad. des sciences, t. CVI, 1888^ 

 p. 1278.) 



