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Et il Ta résolu comme il sait dans le cas où X est de degré pair : 

 Pour Texistence de la différentielle cherchée, il faut et il sufht 

 ([ue \/X soit développable en une fraction continue périodique, et 

 P est la dernière réduite de la première période. 



C'est en se laissant guider par les idées d'Abel que M. Halphen 

 aborde le problème général des intégrales pseudo-elliptiques, 



/\jdx 

 —z=^ (X étant du troisième ou du qua- 

 \/x. 



ti'ième degré) qui s'expriment par des fonctions algébriques et 

 logarithmiques. (Les raisonnements de M. Halphen pourraient 

 d'ailleurs s'étendre au cas où le degré de X est quelconque.) 



L'auteur commence par ramener le cas général au cas où la 

 fraction rationnelle L n'a, en dénominateur, que des racines 

 simples et différentes de celles de X et où le degré de son numé- 

 rateur surpasse de deux unités au plus le degré de son dénomi- 

 nateur. 



r \jdx 

 Cela posé, pour que l'intégrale 1 — ^r- soit pseudo-elliptique, 



J V^X. 

 il faut que le degré du numérateur de L surpasse d'une unité au 

 plus celui du dénominateur et que L, décomposée en fractions 

 simples, soit une somme d'expressions telles que 



-1 ^ . . . + nV «„ X -f K, 



où n^, n^, . . . , n sont des entiers, K une constante, a^ le coeflîcient 

 du premier terme de X {Xi^za^x^ -\- /ia^x^ -{- ...), enfiu Xp X^,.. 

 ce que devient X quand on y remplace x par x^, x.^, . . . 



Ces conditions ne suffisent pas. Il faut encore et il suflit que 

 les quantités x^, x.^, . . .K satisfassent à deux conditions que 

 M. Halphen exprime de la manière suivante : 



Désignant par Y ce que devient X quand on y remplace x par 

 une constante quelconque y, il développe en fraction continue 

 procédant suivant les puissances ascendantes de x—ç, la fonction 



V^X - v/y , g.,(.x' - ^Y 



^2 T" 



Dans ce développement '; est une constante quelconque, les [i sont 



