ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 415 



A l'égard du système quint uplement indéterminé de cercles, 

 on a également des cercles singuliers et une surface de singu- 

 larités. 



Sur les surfaces qui ont pour lignes de courbure d'un système des 



HÉLICES TRACÉES SUR DES CYLINDRES QUELCONQUES, par M. PeTOT. 



{Comptes rendus de VAcad. des sciences^ t. CVI, 1888, p. 1617.) 



Aux points correspondants de toutes les surfaces dont les lignes 

 de courbure admettent la même représentation sphérique, le 

 rapport des deux courbures d'une ligne de courbure d'un système 

 a la même valeur. 



Si ces lignes de courbure sont, pour l'une des surfaces, des 

 hélices tracées sur des cylindres quelconques, il en est de même 

 pour toutes les autres. Donc la recherche des surfaces ainsi défi- 

 nies se ramène à celle des systèmes de courbes sphériques ortho- 

 gonales comprenant une famille d'hélices tracées sur des cylindres 

 quelconques. 



D'autre part, l'indicatrice sphérique d'une hélice est un petit 

 cercle dont le plan est perpendiculaire aux génératrices du cylindre 

 sur lequel est tracée cette hélice. On a d'ailleurs, pour revenir 

 d'une courbe sphérique quelconque C^ à la courbe sphérique G 

 dont elle est l'indicatrice, la règle suivante : 



On exprime le rayon de courbure R^ de C^ en fonction de l'arc 

 5^ de cette courbe. Par le centre de la sphère, on trace un 

 rayon vecteur OM^ de C^, la parallèle ONj au segment positif de 

 la tangente en M^ à C^, puis, dans le plan perpendiculaire en à 

 OM^, une droite OM faisant dans le sens positif avec ON^ un angle w 

 donné par la formule 



J li 



^'-^•rf. 



la trace M de cette dernière droite sur la sphère décrit la courbe 

 cherchée. De là résulte une construction très simple de l'hélice 

 sphérique. 



M. Petot donne la règle à suivre pour obtenir sur la sphère le 

 système de coordonnées u, v le plus général comprenant une 

 famille d'hélices {v). Le problème dépend de l'intégration d'une 

 équation linéaire du second ordre, qui se ramène (comme l'a 



