418 REVUE DES TUAVAUX SCIENTIFIQUES 



où les a sont des fonctions données de la variable indépendante, 

 est réductible par la substitution 



où S3, /«j, /la, 63, sont des fonctions convenables de x qu'on obtient 

 par des calculs toujours possibles, à une équation linéaire du 

 troisième ordre, dont les coefficients ne renferment aucun para- 

 mètre. 



Sur les fondements du calcul asymptotique, par M. Cesaro. [Comptes 

 rendus deJ'Acad. des sciences, t. CVI, 1888, p. i65i.) 



Soit 



/(«) + A^) + /•(«) + ••• = PW. 



OÙ a, b, c,... sont les diviseurs de n. M. Cesaro montre que^ si la 



série 



/(o+Ja^)+Ja3) + .-- 



est absolument convergente, la fonction /"est moyennement nulle 

 et la fonction F égale en moyenne à la somme de la série. 



Par exemple, on sait que les fonctions de Mertens et de Gauss 

 sont liées par la relation 



a '^ b '^ c ~^ n 



et que la série 



t^ 1^ 143) ^^^_^_6_ 

 1 u Q " ' r.' 



(p(n) 

 est absolument convergente. Donc -^-^ est, en moyenne, égale à 



— . Peut-on en conclure que ç(w) est asymptotique à — n? 



M. Cesaro fait voir que cette conclusion est légitime^en démon- 

 trant le théorème suivant : Si la fonction F(n) est 'moyennement 

 égale à œ, la fonction n''F{n) est asymptotique à an^\ 



