464 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Sur les équations différentielles du premier ordre, par M. Pain- 

 levé. {Compips rendus de VAcad. des sciences, t. CVII, i888, 

 p. -iii.) 



L'auteur étudie les équations du premier ordre dont l'intégrale 

 générale ne prend dans le plan qu'un nombre fini n de valeurs 

 ou, plus généralement, n'admet dans le plan que n déterminations 

 se permutant autour des points critiques qui varient avec la cons- 

 tante d'intégration. 



Dans ce cas, l'intégrale générale peut se mettre sous la forme 



/ + Ai(.J?,c)?/"~* -f- h^{x.c)lf'~^ -^ ... -t- kn[x,c)—0, 



les A' étant des fonctions de x dont les points critiques sont 

 fixes. 



M. Painlevé se borne au cas où l'équation proposée est algébri- 

 que en y et y' 



Fiy,y',x)z=i:r/y'%^(x)z=o. 



Quand les coefficients B ne présentent pas de ^coupure fermée, 

 une intégrale qui, dans l'espace où elle est définie, ne prend que 

 n valeurs se permutant autour des points critiques mobiles, est 

 définie dans tout le plan. Quels que soient d'ailleurs les coeffi- 

 cients B, cette intégrale vérifie une équation de la forme 



• /[?/.?/o,(-^')]~«' 



où y^ représente une des n valeurs de y^ f un polynôme de degré 

 mn en y et ?/o respectivement. 



Etudiant de plus près les divers modes de représentation de 

 l'intégrale, M. Painlevé montre qu'il est toujours possible, et cela 

 d'une infinité de manières, de la mettre sous la forme 



(,) C = Rly,y;{x)], 



C désignant une constante, R une fonction rationnelle en y et y\ 

 dont les coefficients sont quelconques en x. 



Mais on peut toujours choisir deux formes de l'intégrale 



■(=c[y,i/,{^,)], y' = c'[y.r/,{x)], 



telle qu'une intégrale (i) quelconque se déduise de ces deux-là 

 par une transformation rationnelle 



