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Sur une classe d'équations linéaires aux dérivées partielles, par 

 M. Picard. [Comptes rendus de VAcad. des sciences, t. GVII, 1888, 

 p. 476.) 



Soit V une fonction de deux variables x et y. Si l'on pose 



f= AV= + A'V? + A"V| + 2BV,V2 + 2B'V V^ + 2B"VV, 

 et que l'on considère l'intégrale double 

 fff{\,Y„\,)dxdy, 



l'équation exprimant que la variation première de cette intégrale 

 est nulle quand V a des valeurs données sur le contour, est 



ôV"~à.r\ôvJ ôyUvJ""^* 



C'est une équation aux dérivées partielles du second ordre à 

 laquelle on ne peut identifier l'équation linéaire générale 



\ ' àx' ^ dxdy ^ ày^^ dx^ dy^ ' 



que sous certaines conditions imposées aux coefficients a,b^c,...,f. 



Cette condition consiste dans l'évanouissement d'un certain 

 polynôme F entier par rapport aux coefficients de l'équation (1) 

 et à leurs dérivées partielles jusqu'au deuxième ordre. La relation 

 F zii est manifestement invariante pour un changement quel- 

 conque des variables x et y. 



Quand la condition F — est vérifiée, les coefficients A', B, A" 

 de la forme quadratique /sont déterminés; B'', B' et A doivent 

 seulement satisfaire à une équation aux dérivées partielles ; la 

 forme /reste donc arbitraire dans une certaine mesure. 



Les équations linéaires (1) jouissent alors de la propriété remar- 

 quable qui appartient à Téquation potentielle. Dans toute région 

 du plan à contour simple où la forme est définie, il existe une 

 seule fonction V [x, y), uniforme et continue à l'intérieur d'un 

 contour c et prenant sur ce contour une succession donnée de 

 valeurs. 



M. Picard montre sur quelques exemples comment on peut 



