ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 533 



On a une famille de surfaces fermées telles que, si l'on couvre 

 l'une quelconque d'entre elles d'une couche dont la densité soit 

 en chaque point inversement proportionnelle à la distance à la 

 surface infiniment voisine, l'attraction de cette couche sur tout 

 point intérieur est nulle. Dans ces conditions, les surfaces exté- 

 rieures à la couche seront pour elle des surfaces de niveau. 



Remarques relatives a la communication de M. Picard, par M. Ber- 

 trand. [Comptes rendus de l'Acad. des sciences, t. CVII, 1888, 

 p. 986.) 



Démonstration synthétique du théorème précédent. 



Sur le développement d'une fonction analytique en série de poly- 

 nômes, par M. PiNCHERLE. [Comptes rendus de l'Acad, des sciences, 

 t. CVII, 1888, p. 986.) 



Soit une équation différentielle linéaire 



(1) R^^[x,y)—i + R^_i[x,y)^ ; -f ... + R,(a?,?/) _i + Ro9 = 0, 



^ym o?/'"— 1 dy 



dont les coefficients Rf^[x,y) sont des polynômes entiers (de 

 degré h en y ei de degré k en x). 



Pour toute valeur finie de x. il existe un développement en série 

 de l'intégrale 



H, = 30 



?i = 



En faisant nuls les m premiers coefficients po,..., Pm—i q^ii sont 

 arbitraires, et en supposant que, pour toute valeur de x, R^(.t,o) 

 soit égal à zéro, les fonctions pn[x) seront des polynômes en x. 

 Les fonctions pn (x) sont liées par une équation récurrente 



Hn)Pn-^m + ^i[n,x)p,,j^rn-\ + •. . + AJn,x)p^ — o, 



où les h.h[n,x) sont des polynômes de la forme 



A;,(n,a?) = a^^^g + a^niX -f • - + cthnk^^ 



