534 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



A cette équation récurrente on peut adjoindre la suivante 



dont le second membre est nul si n^m, et qui définit un système 

 de fonctions qn[z) adjointes à p^(.ï'). 

 Si maintenant on forme les séries 



?z rzoo 

 n — 



(k— 1, 2,...,p), 



1 



on aura cette expression de 



z — X 



qui permettra, à l'aide de la formule de Cauchy, de développer, 

 dans un certain domaine, toute fonction analytique régulière en 

 série de polynômes pn(^), si l'équation (i) contient le paramètre .x- 

 au premier degré. Si cette équation contient x au degré k^ i, la 

 formule (2) fera connaître un développement de la forme 

 00 



Sur les solutions régulières d'un système d'équations différen- 

 tielles, par M. Sauvage, [Annales de t Ecole normale, 3° série, 

 t.V, 1888, p. 9.) 



Dans un mémoire précédent, M. Sauvage a montré que le sys- 

 tème 



dy' 



[x — x^) -^=zai,tj, 4 ... -\-ai,,y,, [i zz 1,2, ...,w) 



admet, dans le domaine du point x^ où les coefficients a sont 

 supposés holomorphes, un système fondamental de solutions 

 régulières, c'est-à-dire de la forme ^{x — XoYo{x — x^), où r est un 

 nombre quelconque et (^{x — Xq) un polynôme entier en log(.T— Xq) 

 dont les coefficients admettent le point x^ comme point ordinaire 

 ou comme pôle. 



Il démontre actuellement la réciproque de cette proposition. 



