540 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Si en particulier on considère l'équation 



(3) ^ = '•[/(« + i;3)-9(«-il3)K 



elle admet les quatre solutions 



v=zi{P,p,-F,p,) ^ = P.p, + P,p. 



qui satisfont à la relation (2), P^jP^ et pi,p2 étant respectivement 

 les intégrales des équations 



F'^-P[f{oc + i?^) + m], 

 p'^=9[ç(a-zl3) + m], 



où m désigne une constante. Si /et 9 sont imaginaires conjugués 

 et si pi,p2 sont respectivement conjugés de F^,V^, ce système qui, 

 comme dit M. Darboux, correspond à l'équation linéaire 



y"zizy[f{x)-i-m] 



sera réel et isotherme. 

 L'application de cette théorie à Féquation d'Euler 



à^z m(m -4- 1) 



— z, 



qui se ramène à la forme (3), conduit à la conclusion suivante : 



On saura trouver toutes les surfaces ayant pour représentation 

 sphérique les systèmes isothermes correspondant aux trois équa- 

 tions 



rm(m +1) ,„n 



[m(m +1) ,„1 



y" ■=:zy\in[m + \)k^^m^x-\-h], 



dont la dernière est l'équation de Lamé. Les formules d'intégra- 

 tion définissant la surface, ne contiendront les fonctions arbi- 

 traires sous aucun signe d'intégration définie, tant que m sera 

 entier. 



Cette proposition comprend tout ce que l'on sait relativement 

 aux surfaces à lignes de courbures planes, aux surfaces à repré- 



