ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 541 



sentation sphérique elliptique, etc. Elle fournit une infinité de 

 surfaces algébriques à lignes de courbure algébriques. 



Voici maintenant comment on peut étendre les résultats précé- 

 dents à des systèmes isothermes contenant des constantes dont 

 le nombre croîtra indéfiniment : 



Toutes les fois qu'on saura résoudre le problème de la repré- 

 sentation sphérique pour les systèmes orthogonaux correspondant 

 à l'équation 



on saura le résoudre pour les systèmes correspondant à l'équa- 

 tion 



y 



[•(;)■+'»} 



où 6 désigne une solution de l'équation précédente. 



D'ailleurs, la dernière équation s'intègre immédiatement par la 

 formule 



yznu — u — 



^ e 



dès que l'on connaît l'intégrale générale u de l'équation 



y"z:zij[f(x) + m]. 



La méthode suivie par M. Darboux dans le cas des systèmes 

 orthogonaux et isothermes, s'applique aux systèmes orthogonaux 

 les plus généraux. Toute surface, en efi'et, peut être considérée 

 comme l'enveloppe du plan 



{xi-y)XJr{i-xy)Y + i{i+xy)Z-}>z=o, 



où X, y sont les variables de M. Bonnet. La représentation sphé- 

 rique de la surface étant donnée, x, y doivent être considérés 

 comme des fonctions données des paramètes a,[i. Alors les déri- 

 vées partielles p, q de P, par rapport à x, y, s'obtiendront par 

 l'intégration du système 



àq ^ àp dq dp 



X étant fourni par les équations concordantes 

 àx ày dx ày 



