ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 543 



1° Surfaces qui admettent au moins deux familles simples de 

 génératrices du second degré. — Ce cas se divise en deux autres : 



(a) La rencontre de deux coniques de systèmes différents n'a 

 lieu qu'en un seul point variable avec ces coniques. Alors, si l'on 

 désigne par A^, B^, C^ trois coniques du premier système, A^, B^, 

 C2 trois coniques du second, par p un point de A^, par q un point 

 de Ag, et si l'on représente par "X,!^^ les rapports anharmoniques 

 suivants : 



\L=z{q,'B^A^,A^'B,,A^C^), 



A^Aa étant le point de rencontre de A^ et de A,, la surface est 

 déterminée en coordonnées homogènes x^,x^,x^,Xi^ par les équa- 

 tions 



pXi — f{\,ix) (izzi 1,2,3,4), 



où f/\\, p.) est un polynôme du second degré en \ et du second 

 degré en p.. 



Cette surface, du huitième ordre, est représentable sur le plan. 

 M. Kœnigs l'appelle conicoïde. 



[b) Les coniques des deux systèmes se coupent en deux points 

 variables. Soient X^, une conique du premier système, et x, x', 

 ses deux points de rencontre, avec une conique X, du second sys- 

 tème. La droite o?^' passera par un point fixe Ç^ (pôle d'involution 

 de Xj). Les pôles d'involution du premier système sont en général 

 situés sur une droite D^, et ceux du second système sur une 

 droite D2 (axes d'involution). Mais les coniques d'un système 

 peuvent avoir un pôle d'involution fixe, et alors ce point est aussi 

 un pôle d'involution fixe pour les coniques du second système. 



Dans le cas de deux axes d'involution, la surface cherchée ne 

 peut être qu'une quadrique. 



Dans le cas d'un pôle d'involution unique, la surface est du 

 quatrième ordre et possède une conique double. 



M. Kœnigs étend cette théorie aux surfaces engendrées par une 

 famille simple de courbes unicursales. Si, en dehors de cette 

 famille, il existe sur la surface une autre courbe unicursale, la 

 surface est représentable point par point sur le plan. 



Si l'on considère deux familles de courbes unicursales ne se 

 coupant qu'en un point variable, les courbes génératrices sont 

 du degré p d'un côté, et du degré q de l'autre, on arrive à cette 

 expression générale d'une surface de degré ipq. 



