544 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Second cas. — Surfaces recouvertes plusieurs fois par une même 

 famille de coniques. — Si une famille de coniques recouvre n 

 fois la surface, deux quelconques de ces coniques se coupent. 



Si la rencontre a lieu en deux points variables, la surface est 

 une quadrique. 



Reste le seul cas intéressant, celui où les coniques n'ont qu'un 

 point mobile commun. Lorsque n est égale à 2, les surfaces qui 

 répondent à la question sont généralement des surfaces de Steiner, 

 ou exceptionnellement des cubiques réglées, ou plus exception- 

 nellement encore des quadriques ou des plans. Elles sont toutes 

 données par les formules 



(D) pXi = o^{p,q) (?•= 1,2,3,4,)' 



011 9i (p, q) est un polynôme du second degré des deux variables 

 p et q, ces deux variables étant, l'une la somme, l'autre le pro- 

 duit de deux valeurs, X et \)., du paramètre qui correspond anhar- 

 moniquement aux points d'une conique de la famille considérée. 



M. Darboux a prouvé que les surfaces (D) sont les seules qui 

 puissent contenir une double infinité de coniques. Ces surfaces 

 rentrent dans le type des conicoïdes de M. Kœnigs. 



D'ailleurs, si l'on prend arbitrairement une surface (D), et si 

 l'on considère une développable de la classe m circonscrite à la 

 surface, les plans tangents à cette développable couperont cha- 

 cun la surface (D), suivant deux coniques ; or, les coniques ainsi 

 définies engendrent une famille qui recouvre m fois la surface. 



De là résulte qu'avec une surface (D) quelconque, on peut réa- 

 liser le fait d'une surface recouverte autant de fois qu'on voudra 

 par une famille de coniques. Reste à savoir si les surfaces (D) 

 fournissent toutes les solutions du problème. M. Kœnigs se borne 

 pour le moment au cas où la surface est représentable point par 

 point sur le plan. Il trouve effectivement que la solution générale 

 est donnée dans ce cas par une surface (D). 



/Ç{x)dx 

 , , par M. GuiCHARD. (Annales de l'École 



normale, 3^ série, t. V, 1888, p. 192.) 

 M. Guichard étudie les intégrales 



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