546 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



m^, 711.2, ..., m^p-\-i étant des entiers premiers entre eux dans leur 

 ensemble, 



La connaissance de ces intégrales à une seule période conduit 

 à la solution de ce problème : Trouver toutes les fonctions uni- 

 formes d'un point de la courbe ?/':=R(.r), qui n'ont que des points 

 singuliers à l'infini et qui ne s'annulent jamais. 



Un premier type de pareilles fonctions est donné par la for- 

 mule 



o ei (l) étant des fonctions entières ; un autre type particulier a 

 pour expression 



TU./ == e « ^ 



sauf dans le cas exceptionnel où l'infini vi devient infini comme 

 un logarithme. M. Guichard établit que toutes les fonctions 

 cherchées s'obtiennent en multipliant oa divisant les fonctions du 

 type T. par les fonctions du type 'j^. 



La résolution de ce problème établit une différence entre les 

 fonctions uniformes sur un plan et les fonctions uniformes sur 

 une sphère de Riemann. Dans le premier cas, une fonction qui a 

 un seul point singulier et pas de zéros a son logarithme uniforme. 

 Il n'en est pas de même dans le second cas. 



A ce problème se rattache directement la question suivante : 

 Trouver tous les couples de fonctions entières X et Y qui satisfont 

 à l'équation 



X^-f Y^ — i=:o; 



autrement dit, trouver toutes les transformations entières d'un 

 cercle en une courbe algébrique. 



Pour certaines courbes particulières^ il peut se faire que X et Y 

 soient des polynômes ; les modules de périodicité des intégrales 

 de première et de troisième espèce satisfont à des relations qui 

 sont indiquées par M. Guichard. 



Enfin les intégrales qui ont deux périodes 2 'jza., 2 ^rP sont com- 

 prises dans la formule 



I 



