A^^ALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 549 



sèment sur T il y a k points ^^,^.^, ...,^k pour lesquels v,,V2, ..., v/^ 

 points M se réunissent. 



Cela posé, on a entre toutes ces quantités la relation 



= (^^-2)^ + K-i) + K-i) + -.. + (v^-i). 



Telle est la formule que M. Stouff se proposait d'établir et 

 dont il donne l'interprétation dans la théorie des fonctions fuch- 

 siennes. 



Deux problèmes se présentent : 



1° Déterminer les sous-groupes d'un groupe fuchsien. On 

 obtient les polygones générateurs des sous-groupes en réunissant 

 plusieurs polygones du réseau du groupe primitif et en conju- 

 guant convenablement les côtés restés libres ; 



2° Etant donné un groupe fuchsien G qui dépend de paramè- 

 tres variables, pour quelles valeurs de ces paramètres est-il con- 

 tenu dans un autre groupe F ? 11 est intéressant de chercher 

 quand cette circonstance se présente, parce que ces groupes 

 particuliers sont plus simples que les autres et que le calcul des 

 équations fuchsiennes correspondantes peut même se faire algé- 

 briquement dans certains cas. 



Or, si p est le genre du groupe G; —, —,..., — les sommes 

 d'angles des cycles; r. le genre du groupe F- —,— ,..., — les 



\X, [J.2 [).ç> 



sommes d'angles des cycles; la condition pour que G soit contenu 

 dans F est 



11 1 ^t/ ,,111 



2p — 2-\-n ... zi:N27r — 2 + / 



«1 a^ au \ \J.^ [J.^ [)4 



N étant un entier. Cette formule, malgré la différence de forme, 

 n'est autre que la formule de correspondance indiquée ci- 

 dessus. 



M. Stouff fait diverses applications de cette formule, puis il 

 passe à l'étude des sous-groupes distingués, et ensuite à celle des 

 substitutions directes et inverses. Ces deux questions, outre l'in- 

 térêt qu'elles offrent par elles-mêmes, conduisent à des résultats 

 fort utiles quand on étudie les opérations qui transforment un 

 polygone en un polygone équivalent, c'est-à-dire engendrant le 

 même groupe fuchsien. 



