ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 633 



La seconde roche étudiée par Fauteur est un orthophyre et la 

 troisième une porphyrite amphibolique qui forme à Portes même, 

 une nappe régulière de quelques centimètres seulement de puis- 

 sance. C. V. 



§ ^ 

 MATHÉMATIQUES 



Le PROBLÈME DE DiRiCHLET, par M. J. RiEMANN. [Annales de V Ecole 

 normale, 3*^ série, t. V^ 1888.) 



L'objet principal de ce travail est de développer la solution du 

 problème de Dirichlet que M. Schwarz a esquissée à grands traits 

 dans les Monatsberichie de 1870. 



M. Riemann a divisé son travail en quatre parties. 



Dans la première, il s'occupe des fonctions harmoniques dans 

 une aire S et continues sur son contour. On entend par là, comme 

 on sait, une fonction u [x, y) uniforme et continue à Vintérieur de 

 l'aire |S, admettant des dérivées partielles des deux premiers ordres 

 uniformes et continues, et satisfaisant à l'équation 



u 



Le problème] de Dirichlet classique consiste à déterminer une 

 fonction harmonique par la succession de ses valeurs tout le long 

 du contour, ces valeurs étant supposées fonctions continues de 

 l'arc du contour. Ce problème est intimement lié à la théorie de 

 la représentation conforme, dont l'auteur établit les principes 

 fondamentaux avec toute la précision possible. Mais le problème 

 de Dirichlet est susceptible d'une généralisation importante : les 

 valeurs données sur le contour peuvent éprouver en certains 

 points singuliers des discontinuités connues, sans toutefois croître 

 indéfiniment dans le voisinage de ces points. M. Riemann ramène 

 ce problème, que M. Schwarz, d'ailleurs ne s'est pas posé, au pro- 

 blème classique. Appelant a l'affixe d'un point singulier A, 

 a l'angle (généralement égal à 71) des deux tangentes aux deux 

 branches du contour issues de A, S la discontinuité que la fonc- 

 tion cherchée U éprouve en A, u le coefficient de y — 1 dans 



