634 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



log(; — a)/?v{x,y) une fonction harmonique continue sur le contour 

 qui prend aux points non singuliers du contour les mêmes valeurs 

 que U (fonction que l'on sait déterminer par hypothèse si, 

 comme on l'admet, elle a des valeurs déterminées aux points 

 singuliers), la fonction U aura pour expression 



\]z=z iv{x,y) + - Wo + —, u'o+ —^,u, "-f ... 



(Xq GCq OCq 



Cette formule suppose que Taire S est simplement connexe, ou 

 du moins, si elle ne l'est pas, qu'il n'existe pas de points singu- 

 liers sur les contours intérieurs. Dans le cas contraire^, on rendra 

 l'aire S simplement connexe au moyen de coupures. On choisira, 

 à l'intérieur d'un des contours intérieurs L^ doué des points sin- 

 guliers a,,a/ja/',.--^ un point b^, et l'on formera le coefficient u,- 

 dey — 1 dans log(z — bj). Cela posé, l'expression de la fonction 

 cherchée sera 



V=io{x,y) + ^-^n,+ %u\ + ... + V\%i-vi) + %{u'i-v'i)-{-...\ 



le signe S s'appliquant à tous les contours intérieurs. 



La deuxième partie du travail de M. Riemann est consacrée 

 exclusivement à la discussion du mémoire de M. Schlâfli sur la 

 représentation conforme. M. Schlâfli a essayé de résoudre directe- 

 ment le problème de la représentation conforme d'un polygone 

 sur un demi-plan : partant de la formule déjà trouvée par 

 M. Schwartz et par M. Christofî'el, il cherche à y déterminer les 

 constantes de manière à obtenir la représentation demandée. Les 

 calculs de M. Schlâfli ne démontrent pas d'une manière suffi- 

 sante la possibilité de cette représentation ; en cherchant à les 

 compléter, M. Riemann s'est trouvé arrêté par une difficulté 

 sérieuse. Néanmoins, ils ne sont pas dépourvus d'intérêt ; car si 

 l'on admet cette possibilité, qui n'est plus douteuse après les théo- 

 ries générales de M. Schwarz, la difficulté disparaît, et l'on se trouve 

 en possession d'un procédé pratique pour déterminer les cons- 

 tantes. Aussi M. Riemann a-t-il jugé utile d'exposer la méthode 

 de M. Schlâfli ainsi que les remarques qu'elle lui a suggérées. 



Dans la troisième partie, l'auteur commence par définir les 

 arcs réguliers de lignes analytiques et il en étudie les propriétés 

 les plus importantes. Il expose ensuite la méthode de combinaison 

 de M. Schwarz qui permet, si l'on sait résoudre le problème de 

 Dirichlet séparément pour deux aires empiétant l'une sur l'autre. 



