636 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



pondre à un point décrivant une conique, soit une droite 

 enveloppant un point, soit un point décrivant une droite. De 

 même on peut faire correspondre linéairement à un point M qui 

 se déplace sur une surface cubique Sg un certain élément w engen- 

 drant une forme géométrique S. Lorsque M décrit une droite L 

 s'appuyant sur deux des droites données pour déterminer S3, 

 l'élément correspondant w engendre une deuxième forme a. 

 La détermination de la troisième trace de L sur S3 sera ramenée 

 à celle de l'élément w commun aux deux formes S et a- 



Après divers essais, M. Petot s'est trouvé amené à choisir 

 pour (1) une droite, pour S un complexe du premier ordre et 

 pour (J un faisceau du premier ordre. 



Le premier problème à résoudre était alors le suivant : trouver 

 la relation homographique à établir entre un point M et une 

 droite w de l'espace, pour que, M décrivant une droite quel- 

 conque qui s'appuie sur deux droites données de la surface, w 

 engendre un faisceau du premier ordre. Après avoir obtenu ce 

 mode de correspondance, M. Petot a cherché le lieu de M quand 

 0) appartient à un complexe du premier ordre : ce lieu est une 

 surface du troisième ordre, se dédoublant, dans un cas particu- 

 lier, en un plan et une quadrique. La situation, sur Sg, de huit 

 points et de trois droites non concourantes (et, en particulier, 

 la situation de dix points sur une quadrique) se trouve dès lors 

 réduite à dépendre de la situation, sur un même complexe du 

 premier ordre, de six droites déduites linéairement des points con- 

 sidérés. 



D'ailleurs, le même mode de correspondance donne les pro- 

 priétés de neuf points d'une courbe gauche du quatrième ordre et 

 de huit points associés, et plus généralement les propriétés ana- 

 logues relatives à la courbe gauche du sixième ordre et au groupe de 

 droites et de points associés. On obtient, comme conclusion, pour 

 les courbes gauches, cinq droites appartenant à une même con- 

 gruence du premier ordre ; pour les groupes d'éléments associés, 

 quatre droites appartenant à un même système de génératrices 

 d'un hyperboloïde. 



Ces différents théorèmes ont pour la construction des surfaces 

 cubiques et quadriques les mêmes conséquences pratiques que 

 celui de Pascal pour les coniques. L. R. 



