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ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 809 



jouissent, comme le montre M. Perrin, de propriétés tout à fait 

 semblables. 



L'auteur met à profit ces propriétés pour la démonstration 

 d'un théorème relatif à l'intégration sous forme parabolique des 

 équations différentielles où la variable ne figure pas explicitement : 



Si une pareille équation . . 



admet l'intégrale générale 



la relation qui lie les n + i arbitraires est 



F(Ao,A„2!A2,3!A3, ...,7z!An)=:o. 



Réciproquement, si dans la forme binaire générale d'ordre n^ 

 écrite avec une seule variable non homogène, on suppose donnée 

 une relation entre les coefficients et qu'on forme l'équation difî'é- 

 rentielle du n^^™® ordre à laquelle satisfait la forme après élimina- 

 tion de tous ses coefficients, la condition nécessaire et suffisante 

 pour que cette équation ne contienne pas explicitement la variable 

 est que la relation donnée entre les coefficients se réduise à une 

 relation entre des péninvariants ou invariants de la forme. 



Outre les covariants, invariants et péninvariants, il existe encore 

 d'autres fonctions des coefficients et de la variable d'une forme 

 binaire qui présentent ce caractère d'être identiques à une fonction 

 de la forme et de ses dérivées unilatérales, sans que la variable 

 apparaisse explicitement : ce sont les semi-covaiiants, définis 

 comme satisfaisant à l'une seulement des deux équations qui véri- 

 fient les covariants. 



Tous les résultats obtenus dans cet ordre d'idées par M. Perrin 

 sont contenus dans l'énoncé suivant : 



Toute formation (invariant, covariant, péninvariant, semi-cova- 

 riant) déduite d'une forme binaire d'ordre n, et qui possède le 

 caractère d'invariance par rapport à l'une x^ des deux variables, 

 est identique à une fonction de la forme et de ses dérivées succes- 

 sives par rapport à cette variable seule, divisée par une certaine 

 puissance de la seconde variable .x,. Cette fonction satisfait à la 

 condition 



