1136 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Tel est le cas de l'intégrale 



/: 



.sin" Tixy' dx, 



cpfx) 



ç {x) désignant une fonction positive constamment croissante 

 avec X et assujettie à la condition 



lim -y— r<l. 



X = oo (? [X + l) 



(Si o (a?) =7.2', cette intégrale est au contraire divergente). 



k 



Si l'on fait 9 (x) = a? , le critérium tombe en défaut, mais on 

 démontre directement que l'intégrale converge pour A'>> 2. 



Le théorème précédent est susceptible de la généralisation sui- 

 vante : 



Soient <p (a?), <!> (x) deux fonctions positives pour x positif. Si 

 ç (.x) croit constamment avec x de telle manière que le rapport 



^ (■^•) 

 ç(.z--[- 1^ 

 l'intégrale 



tende pour x^co vers une limite < 1 ; si d'autre part 



I ^ (n + xy dx 

 ne dépasse pas une valeur fixe quel que soit l'entier n, l'intégrale 



X) 



^ [x) [sin^Ti;^]' ^ dx 



£ 



aura une valeur finie. 

 Telle est par exemple l'intégrale 



l 



log (séc" 'KXj (sin" r^xy'-^' dx, 



bien que l'élément différentiel, non seulement ne tende pas vers 



1% -j- 1 

 zéro, mais encore devienne infini pour toutes les valeurs x ~ — ; — 



On peut d'ailleurs, partant de cette intégrale, en obtenir d'autres, 

 jouissant de la même propriété, par le changement de la variable, 

 de sorte qu'il est permis d'énoncer ce théorème : 



Il est possible, d'une infinité de manières, de déterminer une 

 fonction f[x) de telle façon que cette fonction, restant toujours 

 positive, devienne infinie un nombre de fois aussi grand qu'on 

 veut dans un intervalle aussi petit qu'on veut, à partir d'une 



