ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 1137 



valeur convenablement choisie de x, et que cependant l'intégrale 



f[x) dx 

 ait une valeur finie et déterminée^ 



r 



Sur UNE FORMULE d'arithmétique, par M. Lergh. [Bull, des sciences 

 mathém., t. XII, 2^ série, p. 100, 1888.) 



En développant une identité relative à la fonction 



X 



l_^vj/j_^<.+v. 



où A; et «sont des entiers positifs (le premier supérieur à 1), M. Lerch 

 obtient une relation remarquable entre les fonctions numériques 

 J> ['p,q) et 1 {p,q) dont la première représente le nombre de divi- 

 seurs de p supérieurs à q, et la seconde le nombre de ceux qui 

 sont inférieurs ou égaux à q. Voici cette relation : 



^ |(}^(m — c7a,Â:4-Œ— 1)— 7(m — cra,û5)j 



(7 == 



k—i 



En y posant a=: 1, on trouve la formule particulière . 



w— 1 k—i 



qui, pour kzzzi, se réduit à 



m — 1 



N 'h [m ocy a) zz m, 



a =: 



Cette dernière revient au théorème suivant de M. Catalan : 

 ' Le nombre total des solutions entières, non négatives, des équa- 

 tions 



ix -{- [i -{- i) y ^= n — i (i= 1, 2,..., n) 

 est égal an. 



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