ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 91 



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 MATHÉMATIQUES 



Essai de théorie complète du système de deux formes ternaires qua- 

 dratiques, par M. Perrin. [Bull, de la Soc. mathématique, t. XVIII, 

 1890, p. 1-80.) 



La théorie du système simultané de deux formes ternaires qua- 

 dratiques ne peut être considérée comme achevée. 



On a, il est vrai, établi le système complet des formes inva- 

 riantes distinctes, au nombre de vingt, avec leur expression sym- 

 bolique; on sait ramener à ces formations celles qui se présentent 

 dans un certain nombre de questions géométriques; enfin on 

 connaît la signification géométrique de l'évanouissement des inva- 

 riants, ainsi que des covariants principaux et de quelques-unes 

 des expressions composées avec ces diverses fonctions. 



Mais on ignore quelles relations (syzygies) peuvent exister entre 

 les vingt formations distinctes ; on ne possède pas de formule simple 

 pour passer de Téquation ponctuelle à l'équation tangentielle des 

 courbes covariantes du système, ou inversement, etc. 



M. Perrin s'est proposé de remplir ces lacunes en adoptant une 

 marche systématique qui consiste à partir du système de quatre 

 formes binaires (deux linéaires et deux quadratiques), dont les in- 

 variants fournissent exclusivement et complètement les sources de 

 toutes les formations invariantes distinctes que possède le système 

 de deux formes ternaires quadratiq ues. Alors les syzygies, qui relient 

 les invariants dans le domaine binaire, fournissent entre les for- 

 mations ternaires obtenues un égal nombre de syzygies, que Ton 

 peut prendre comme point de départ pour en établir de nouvelles. 



Parmi les résultats obtenus par M. Perrin, il faut citer : 



1** L'existence d'une symétrie croisée fort simple entre les élé- 

 ments ponctuels et tangentiels relatifs aux deux coniques fonda- 

 mentales; 



2» La possibilité de représenter toutes les formations en em- 

 ployant comme seules variables trois covariants mixtes linéo- 

 linéaires (dont l'un est le covariant identique), avec des coefficients 

 où n'entrent que les invariants et les contrevariants, si ces varia- 



