ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 99 



SUtl LES SUrtFÀCES DONT LA. COURBUtlE TOTALE EST CONSTANTE, par 



M. Darboux. (Annales de V Ecole normale, t. VII, 3° série, 1890, 

 p. 9-18.) 



La théorie des surfaces à courbure totale constante présente 

 les rapports les plus étroits avec celle des surfaces minima. 



Ainsi la détermination des surfaces minima dépend de l'équa- 

 tion 



5 = 6-^, 



et celle des surfaces à courbure constante, d'après M. Weingarten, 

 se ramène à l'équation 



(i) s^iae^ -{-be—^. 



On n'a pu jusqu'à ce jour intégrer cette équation, mais on con- 

 naît divers procédés qui permettent de déduire d'une surface à 

 courbure constante donnée une infinité d'autres surfaces^à cour- 

 bure totale constante. 



Ainsi M. Lie a remarqué que, si f [x, y) est une solution de l'é- 

 quation (1), il en sera de même de fl—^ymV où m est une cons- 

 tante arbitraire. 



M. Blanchi a indiqué en 1879 une méthode bien plus féconde 

 dont voici le principe. 



Soit (S) une surface à courbure négative —1 dont on connaît les 

 géodésiques. On pourra d'une infinité de manières mettre l'élé- 

 ment linéaire sous la forme 



ds' = dix' + e'^d^\ 



Toutes les tangentes aux géodésiques 3zz:const. sont, comme 

 on sait, normales à une surface (S) et elles touchent une seconde 

 surface (S'j de telle manière que (S) et (S') constituent les deux 

 nappes de la surface des centres de courbure de (S). M. Blanchi 

 démontre que (S') est, comme (S), une surface de courbure — 1. 

 On voit donc que l'on pourra déduire de (S) une surface (S') con- 

 tenant dans son équation une constante arbitraire. 



L'application répétée du même procédé conduira à des surfaces 

 à courbure totale constante dont l'équation renfermera autant de 

 constantes que l'on voudra. M. Lie a fait la remarque capitale que 

 ce procédé exige seulement une série de quadratures. 



M. Darboux donne de la proposition de M. Blanchi une dé- 

 monstration géométrique des plus élégantes. Il présente une dé- 



