140 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



invariants sont 1 et H, on saura intégrer une infinité d'autres 

 équations dont les invariants sont : 



en utilisant les solutions particulières u de la première. 

 L'équation réduite de la nouvelle équation 



se déduira de l'équation réduite de la proposée parle changement 

 de fonction 



" rdx 



u^y^ — e—^ " * 

 Si, par exemple, on cherche quelles sont les équations 



dx y 



que l'on peut intégrer en les ramenant par la remarque précé- 

 dente à d'autres où J^ soit une constante k, on obtiendra pour 

 l'invariant absolu J l'expression suivante 



9 y/x 9 



où Xest une fonction entière et linéaire de x. Les équations carac- 

 térisées par cette valeur de J sont des équations de Jacobi. 

 L'équation de Jacobi est, comme on sait, 



{lx-{- l'y-\-l"){xdy — ydx)—{mx-\- m'y -\- m") dy -\- {nx-\-n'y-\-n")dxz=:o . 



Par un simple changement de notation et par la substitution de 

 X -h m k x, elle devient 



dx xy 4- n^x^ -\- q^x + q ' 



c'est-à-dire qu'elle prend la forme (1). 

 Les deux invariants sont 



1 zz h ('^^1 ~ '^)^ + '^'9 



H — // 



^x-[p,x + ;.)) + {n,x' + q,x -\- q) [[q, — n)x -|- q] 



