AÎNALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 141 



Si l'on identifie avec les expressions 



_ A,^- + A, _ B,x^ 4-B,ar^ + B,a; + Bo 



1 _„ — - — , il - — , j 



x^ x^ 



on aperçoit immédiatement les deux relations 



— Do, -^— — -D^ , 



9 ^ 



et si on les suppose vérifiées, on pourra faire l'identification d'une 

 infinité de manières ; n, p, q, p^ seront exprimés en fonction des 

 A et des B, et aussi de A, q^, n^ qui restent arbitraires. 

 L'équation 



dY k,x + A, _ B3:r^ + B.x' -f jApA^os- + jA/ 

 dx "^ X' x'Y 



peut donc être considérée comme provenant d'une infinité d'équa- 

 tions de Jacobi. On peut, comme le montre M. Elliot, en simpli- 

 fier l'intégration en profitant de l'indétermination de A, q^, n^. 



L'étude de l'équation de Jacobi amène l'auteur à rechercher les 

 équations de la forme (i) dont l'intégrale générale s'obtient en 

 élevant à des puissances convenables les facteurs qui correspon- 

 dent à trois solutions particulières et en égalant le produit à une 

 constante. 



L'intégrale aura la forme 



(y - KY (y - B)P (y _ G)Y =: D X const., 



a, ^, Y étant trois constantes et A, B, G, D, quatre fonctions quel- 

 conques de X. 



En éliminant la constante par difï'érentiation, on obtient de deux 

 façons une équation où dy est le quotient d'un polynôme du 

 second degré en y par un polynôme de premier degré : 



1" Soit en prenant 



D zz: const. , a -j- g --|- y =z o ; 

 2° Soit en prenant 



D- const. A^'BPC', l-^^-^l — o. 

 ABC 



La première forme ne donne que les équations provenant de 

 l'équation de Jacobi par un changement de la variable indépen- 

 dante ; la seconde appartient à une classe d'équations difieren- 

 tielles plus générales que l'équation de Jacobi. 



Si, au lieu de trois fonctions de a?, on introduit quatre fonctions 



