ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 143 



Si, en effet, l'on regarde x ei y comme les coordonnées rectan- 

 gulaires d'un point dans le plan et que l'on se donne en chaque 

 point d'une courbe G la valeur de z et de Tune de ses dérivées 

 premières ; si de plus on désigne par u {x,y, x^,y^) une fonction 

 convenablement déterminée de x, y, x^, ?/„, mais indépendante de 

 la forme de la courbe G et des valeurs de z et de ses dérivées pre- 

 mières sur cette courbe, on aura pour la valeur de z en un point 

 quelconque a?^, y^ l'expression suivante due à Riemann : 



rl'^oJ Vo) — — 



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où l'intégration doit être effectuée suivant l'arc BG de la courbe G 

 interceptée par les droites x zz x^ et ?/ =: y^. 



Pour déterminer la valeur de u, M. Zaremba fait le changement 

 de variables 



2^ = ? + -^, 2_V=Ç — Yî. 1X^ — ^-{-\, 2î/o = Ç„ — Y]„; 



il réduit la courbe G à la droite z =z const., il prend pour z une 

 intégrale particulière de l'équation (i), savoir 



z = cosi;.(-^,-r,)[C,<t,(gJ + C,i,(E,)], 



\}.y Gj, G2 désignant des constantes arbitraires, et J^^, ^h^ un sys- 

 tème de solutions fondamentales de l'équation différentielle 



Substituant cette valeur de z dans la formule (2) et appliquant 

 le théorème de Fourier, en supposant y) compris entre '% et \y on 

 obtient pour l'expression de u 



résultat déjà donné par Riemann, mais sans démonstration et 

 dans le cas particulier où ©2 =: o. 



M. Zaremba utilise cette dernière formule pour résoudre un 

 problème posé par M. Darboux : 



Mettre l'élément linéaire d'une surface développable sous la 

 forme 



ds^ =z Cf. du' -f - dv^, 



a étant une fonction de u et v. 



