144 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Les fonctions u et v de x et y, si x, y désignent les coordonnées 

 qui figurent dans la formule 



ds' = ¥.dx^ + 2Fdxdy + Gdif, 



doivent satisfaire à l'équation 



5?L\W ~" \^/ j à^- dy dxày'^ &fVàyl ~ \^x) J"~^' 

 Si l'on applique à cette équation la transformation de Legendre 



\] — t,[x,i})—xf — yq, 



p ei q désignant les dérivés de © par rapport à x et à y^, on est 

 ramené à l'équation 



dont l'intégration se ramène par le changement de variables 



Sj = - log (p^ + 9^) + arc tang-, 



1 p 



S2 = - log {p^ + q^) — arc tang^ 



2 q 



à celle de l'équation 



ô^U ôU àU_ 



Dans ce cas la fonction u dont il a été question ci-dessus se 

 réduit à 



.i II — 00 



1 r^ ''V- 



4 



^ \/7-'- 



OU 1 on a pose 



et peut se développer en une série convergente pour des valeurs 

 quelconques de ses arguments, savoir 



u=ze 





Le problème posé par M. Darboux se trouve donc résolu. 



