ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 145 



Sur les fonctions de deux variables quadruplement périodiques de 

 TROISIÈME ESPÈCE, par M. Appell. {Annales de l'Ecole normale, 

 3« série, t. VII, 1890, p. i43-i54.) 



Une fonction quadruplement périodique de troisième espèce est 

 une fonction uniforme de deux variables x et y qui se reproduit, 

 multipliée par une exponentielle linéaire en. x et y quand on aug- 

 mente les variables de chacune des quatre paires de périodes. 



D'après un théorème énoncé par Riemann, une fonction qua- 

 druplement périodique de deux variables de première espèce qui 

 n'a pas de singularités essentielles à distance finie, peut toujours 

 être ramenée à avoir pour paires de périodes des quantités 



(27:i, 0), (0, 9.r^), (a, (3), (a', g'), 

 vérifiant la relation 



Si la fonction admet des singularités essentielles, les paires de 

 périodes (a, 3) et («', ^') sont entièrement arbitraires. M. Picard a 

 donné des exemples de fonctions de ce genre. 



A cet égard, il y a, entre les fonctions quadruplement pério- 

 diques de deux variables de première et de deuxième espèce d'une 

 part, et de troisième espèce d'autre part, cette différence remar- 

 quable que, même si une fonction de troisième espèce admet des 

 singularités essentielles, on peut toujours ramener ses périodes 



à être 



(2m:, 0), {o,2Td], (a, P), (7/,(3') 



avec la relation (3 =1 a'. 



Le travail de M. Appell est principalement consacré à la dé- 

 monstration de ce théorème. 



L'auteur, en terminant, montre comment on peut former des 

 fonctions de deux variables quadruplement périodiques : 



Soient a, [3, y trois quantités telles que la partie réelle de la 

 forme quadratique 



(xm^ -f- ?>n^ -{- 2ymn 



soit négative pour toutes les valeurs réelles de m et n autres que 

 m zz: n zz: ; soit p un entier positif, et (d[u, v) une fonction uni- 

 forme des deux variables u et v. 

 Si la série 



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