ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 147 



concernant les surfaces engendrées (S) qui se rapprochent alors 

 des quadriques en ce sens qu'une transformation par polaires 

 réciproques les remplace par d'autres surfaces jouissant des 

 mêmes modes de génération, soit ponctuel, soit tangentiel. Ce 

 rapprochement est indiqué dès le début par l'énoncé suivant : 



Les surfaces (S) peuvent être envisagées, soit comme enve- 

 loppes de cônes roulant sur deux développables, soit comme 

 lieux de coniques roulant sur deux courbes. 



Le choix d'un système de coordonnées étroitement lié à ces 

 deux modes de génération s'imposait évidemment. L'auteur s'est 

 servi de celui qui est formé par les génératrices coniques et par 

 leurs conjuguées et commence par établir pour ces dernières une 

 propriété importante : elles partagent homographiquement les 

 coniques génératrices. 



Gela lui permet d'écrire les équations générales des surfaces 

 sous la forme : 



_ P.(X) ^^^ +2Q, (a) ^+ R,(>) ^ N,(A, 1^) ^ 

 "" "" P( a) i^' + 2Q(a) [j^ + R(a) N(à, u.) ' 



• ^"■N(X,ri' N(A, [X)- 



Les courbes (X ==: const.) sont les coniques, et les courbes ({j. 

 =: const.) leurs conjuguées. On a de plus, identiquement (quel 

 que soit {x) : 



àN,_x,./N. àN,_ ON. àN3_ ON 



■ôx-^^^^'ôx' W.-^^''>dï' ôT-^Wà^,- 



X, Y, Z désignent les coordonnées du sommet du |cône circons- 

 crit le long de la conique (X). On voit, d'après cela, que les fonc- 

 tions X, Y, Z peuvent être choisies arbitrairement, ainsi que 

 P, Q, R; la détermination de la surface s'en déduit par des qua- 

 dratures. 



A ces équations réduites en coordonnées ponctuelles,, en corres- 

 pondent évidemment de semblables en coordonnées tangen- 

 tielles ; ce sont : 



,.„^i(>ori. ._M2(a,ij.)_ ^^, _„M3(a, ri 



M(X, ri ' M(A, ^.) ' M(À, (x) 



avec les relations identiques : 



■ôT-^^'-'ôT' -àl-^f^-'àT' ^-^''-'aT 



