148 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



U, V, W désignent les coordonnées du plan de la conique va- 

 riable. — On passe d'ailleurs de l'une à l'autre de ces formes par 

 de simples quadratures. 



ôN 

 L'équation -— zn o fournit la courbe enveloppe des coniques 



À 



tandis que -— =o représente la développable sur laquelle roulent 



les cônes. 



Une première application importante de ces deux formes ré- 

 duites consiste à montrer que les surfaces (S) pour lesquelles on 

 se donne la courbe lieu des sommets des cônes et la développa- 

 ble enveloppe des plans des coniques ne dépendent plus que de 

 cinq constantes arbitraires figurant linéairement dans leurs équa- 

 tions, et par suite qu'elles sont complètement déterminées si l'on 

 s'en donne de plus une conique ou un cône circonscrit. 



La première partie de ce travail se termine par l'analyse de 

 quelques surfaces simples, et en particulier des surfaces algé- 

 briques des troisième, quatrième et cinquième degré, et par la 

 détermination des surfaces (S) pour lesquelles les cônes sont de 

 révolution. 



Ces dernières se partagent en deux catégories qui se tiennent 

 d'une manière très étroite : les unes sont des enveloppes de 

 sphères, les autres sont les surfaces lieux des centres de seconde 

 courbure des précédentes. 



Une seconde partie est consacrée à l'étude des propriétés des 

 lignes asymptotiques des surfaces (S) dontEéquation se présente 

 sous forme relativement simple lorsqu'on emploie le système de 

 coordonnées indiqué plus haut. 



Cette équation est de la forme : 



On voit qu'elle se simplifie beaucoup dans trois cas également 

 importants. 



o T , ^ ,. ÔN ÔM .., , , . 



1** Les deux fonctions — , — -, considérées comme polynômes 

 àX ÔX' 



en [1, ont mêmes racines, c'est-à-dire que la développable enve- 

 loppe des cônes est circonscrite à la courbe enveloppe des coniques. 

 L'intégration de l'équation (i) se ramène alors à celle de deux 

 équations de Riccati, de sorte que les coniques génératrices sont 

 partagées homographiquement par les deux séries de lignes 



