ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 149 



asyinptotiqiies. Signalons encore quelques propriétés caractéris- 

 tiques des surfaces de ce genre : 



Les tangentes aux deux séries de lignes asyinptotiques en tous 

 les points d'une même conique sont les génératrices de deux 

 liyperboloïdes circonscrits à la surface le long de cette conique. 



Si le lieu des sommets des cônes est une courbe plane, la dé- 

 veloppable des plans des coniques est un cône, et réciproque- 

 ment, etc. 



2" Les deux polynômes ^-^ r- ^oul carrés parfaits. Alors la 

 OA àX 



conique génératrice reste osculatrice à une courbe gauche dans 

 son déplacement, tandis que le cône circonscrit est lui-même 

 osculateur à une développable. La propriété d'homographie si- 

 gnalée ci-dessus persiste dans ce cas. 



diN ôM 

 ',\^ Les racines des deux polynômes —, -7- sont respectivement 



constantes : les coniques passent par deux points fixes et les cônes 

 roulent sur deux plans fixes. La détermination des lignes asym- 

 ptotiques s'effectue alors au moyen desimpies quadratures puisque 

 les variables se trouvent séparées de l'équation (1). 



La fin de cette seconde partie est occupée par la détermina- 

 tion des surfaces enveloppes de cônes de révolution appartenant 

 aux deux premières catégories et par la recherche des lignes 

 asymptotiques de quelques surfaces simples, en particulier de 

 la surface du quatrième degré à conique double et quatre points 

 doubles. 



Dans la troisième partie du travail, la moins importante, l'au- 

 teur étudie quelques propriétés métriques relatives aux trajec- 

 toires orthogonales des coniques génératices. Mais il se trouve 

 amené, dès le début, à élargir la question et à chercher les tra- 

 jectoires orthogonales d'une conique dépendant, d'une façon quel- 

 conque, d'un seul paramètre. On peut remplacer ce problème 

 par un problème correspondant dans le plan ; en particulier, à 

 une conique qui se déplace dans l'espace de telle sorte que son 

 plan reste constamment normal à la trajectoire de l'un de ses 

 foyers, on peut faire correspondre une conique ayant un foyer 

 fixe dans un plan fixe. L'équation des trajectoires orthogonales 

 s'intègre alors bien facilement dans quelques cas simples. Reve- 

 nant aux surfaces (5), on démontre que les coniques sont parta- 

 gées homographiquement par leurs trajectoires orthogonales 

 lorsque le plan de la conique se déplace en restant normal aux 

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