ANALYSES RT ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 151 



Telle est la méthode de M. Bâcklund qui comprend comme cas 

 particulier celle de MM. Bianchi et Ribaucour. M. Bâcklund mon- 

 tre que, si dans une congruence la distance focale est constante 

 et si les plans focaux font un angle constant, les surfaces focales 

 sont des surfaces à courbure constante. M. Guichard donne de la 

 transformation de Bâcklund une nouvelle expression analytique 

 qu'il utilise dans la recherche de quelques surfaces S particulières. 



Il s'attache spécialement à l'étude des surfaces S etE. Il montre 

 qu'un couple Sj, S, peut être obtenu par des quadratures quand 

 on connaît une surface à courbure constante rapportée à ses lignes 

 asymptotiques et une solution de l'équation correspondante 



àuàv 



Z=û cos ©. 



Cette équation admet comme solutions particulières —^ et -^: 



du àv 



dans ce cas, Tune des surfaces Sp Sg est une sphère. La con- 

 gruence formée par les tangentes communes à deux sphères est 

 manifestement une congruence du type C; il y correspond des 

 solutions particulières de l'équation 



ou 00 



que Ton peut obtenir à l'aide de quadratures elliptiques. 



Les cosinus a, 3^ y de la normale à une surface à courbure 

 constante sont solutions de l'équation (1); il y correspond des con- 

 gruences C, dont la surface centrale est un plan. 



L'équation (1) admet enfin une infinité de systèmes distincts de 

 trois solutions g, % Ç liées par la relation 



/"(ç,-^, O = const., 



où /'est une fonction quadratique homogène. Les surfaces S cor- 

 respondantes sont telles que les lignes de courbure d'un système 

 sont coupées sous un angle constant par les rayons vecteurs 

 issus d'un point fixe. 



La détermination analytique des surfaces S est identique avec 

 celle des surfaces S. Car le plan tangent à S a pour coordonnées 

 a, (3, Y et p [p étant une solution quelconque de l'équation (1)]. 



Il y a une relation géométrique simple entre les surfaces S et 

 les surfaces S. L'une des nappes de la surface des centres des 

 courbures de S est une surface 21. Inversement, les tangentes aux 

 géodésiques conjuguées de v sont normales à des surfaces S. 



