346 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



un système de coupures qui empêchent cette variable de tourner 

 autour des points critiques fixes. 



Si y^ désigne la valeur en a*o d'une intégrale particulière y{x) 

 et si faisant varier x à partir de x^ on suit les variations corres- 

 pondantes de ?/ à partir de y^^ il peut arriver que y acquière un 

 nombre limité ou illimité de valeurs en un même point x. Si c'est 

 le premier cas qui se trouve réalisé (quel que soit y^) on dira que 

 l'intégrale générale ne prend que n valeurs autour des points cri- 

 tiques mobiles. 



Deux problèmes se posent alors : 



1** Etudier les propriétés de l'intégrale quand elle est de cette 

 nature. 



2° Reconnaître si l'intégrale d'une équation donnée (i) ne prend 

 qu'un nombre limité de valeurs autour des points critiques mo- 

 biles. 



Pour traiter ces deux problèmes, M. Painlevé conçoit l'inté- 

 grale générale mise sous une forme qui met en évidence une 

 classe de courbes associées à l'équation proposée et dont chacune 

 est une transformée rationnelle de la courbe représentée par l'é- 

 quation (i), quand, pour une valeur fixe de la variable, on regarde 

 y et y' comme des coordonnées. 



En effet, cette intégrale vérifie une équation telle que 



Y désignant une constante, p une fonction rationnelle de y, y', et 

 y' la fonction de (y, x) que détermine l'équation (i). 



Plus généralement, l'intégrale vérifie une infinité de relations 

 de la forme 



où A est une fonction de x dont les points critiques sont indépen- 

 dants de la constante C. 



Deux constantes intégrales y, y^ sont liées par une relation algé- 

 brique. Deux fonctions intégrales A, A^ sont liées par une relation 

 où X entre d'une façon quelconque, mais où A, A^ figurent algé- 

 briquement. 



On peut toujours choisir deux fonctions (ou, si l'on veut, deux 

 constantes) intégrales 



r:=ia, r^^za^, 



liées par l'équation 



h[r,r,,[x)]z:zo 



