ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 347 



de telle sorte que toute autre fonction intégrale R z: a s'exprime 

 rationnellement à l'aide de r, i\. 



R = ûp[r, r^, [x)], k — <s[a, a„ (.t)]. 



Cette relation h — o, dont les modules sont indépendants de x, 

 n'est déterminée qu'à une transformation birationnelle près : c'est 

 la relation entre les fonctions {ou constantes) intégrales. 



Les égalités 



définissent une correspondance rationnelle entre la courbe 



(i) . F[j/,r/',(x)] = o 



et la courbe 



(2) /i(Y,yJ = o 



que représente la relation entre les constantes intégrales. 



Si le genre tc de la courbe (2) est égale à zéro, il existe une cor- 

 respondance birationnelle entre la courbe (1) et les courbes repré- 

 sentées par la relation 



(3) . G[y,f,{x)]-o, 



relation que vérifient les intégrales, et dont le degré en y est le 

 même que celui de l'équation (i) en y'. 



Dans tous les autres cas, il existe entre (1) et (3) une corres- 

 pondance rationnelle. 



On voit comment les transformations rationnelles des courbes 

 algébriques s'introduisent d'elles-mêmes dans l'étude des inté- 

 grales des équations différentielles. 



L'étude de ces transformations conduit M. Painlevé aux résul- 

 tats suivants, essentiels pour l'intégration de l'équation (1) ; 



Soient 



(ce) f[y^^)—o 



(3) Y[y„z,)-o 



les équations de deux courbes de degrés m, m^ et 



(y\ U=?(.yi>^i) 



^^^ . \z=^[y,,z,) 



deux fonctions rationnelles de [y^, zj qui permettent de passer de 

 (a) à (g). 



Si le genre p de (a) est zéro, on peut toujours passer de (a) à 

 (P) par une infinité de substitutions (y) qui dépendent d'une fonc- 

 tion rationnelle arbitraire du point analytique (y,, zj de (g). 



