348 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Quand p= i, on ne peut en général passer rationnellement de 

 (a) à (g). Pour qu'il en soit ainsi, il faut qu'une intégrale abélienne 

 de première espèce de la courbe (g) se ramène aux intégrales el- 

 liptiques de module égal au module de (a). Une telle transforma- 

 tion, quand elle existe, dépend toujours d'une constante et au 

 moins d'un entier arbitraires, mais ne dépend jamais d'un second 

 paramètre continu. 



Quand p est plus grand que i, il n'existe qu'un nombre fini de 

 substitutions (y) transformant (a)en(^)^ et toutes ces substitutions 

 se calculent algébriquement. 



Mais la question vraiment intéressante consiste à déterminer 

 toutes les courbes (a) distinctes qui correspondent rationnellement 

 à une courbe (g) donnée (en entendant par courbes distinctes 

 deux courbes qui ne se correspondent pas birationnellement). 

 L'auteur montre qu'on peut calculer algébriquement un type de 

 toutes les classes de courbes (de genre p>-i) qui se transforment 

 rationnellement, d'après les formules (y), en la courbe (3) donnée. 

 Ces types (ou ces classes) sont en nombre limité. 



L'application de ces théorèmes à l'étude des équations différen- 

 tielles est immédiate. Car étant donnée une équation 



dont l'intégrale prend n valeurs autour des points critiques mo- 

 biles, il existe une correspondance rationnelle entre la courbe (i) 

 et une certaine courbe 



H(c,Ci)izo, 



qui définit la relation entre les constantes intégrales, et cette 

 correspondance 



C,z-.n,[y,y',{x)] 



détermine l'intégrale générale de (i). 



On est donc en état de décider s'il existe une telle courbe H de 

 genre tc supérieur à i. 



On sait par suite reconnaître algébriquement si l'intégrale de 

 l'équation proposée ne prend qu'un nombre fini de valeurs autour 

 des points critiques mobiles, la valeur correspondante de 'tu étant 

 supposée supérieure à i . S'il en est ainsi, l'intégrale s'obtient elle- 

 même algébriquement. 



Quand le genre iz est égal à i, il peut être nécessaire, pour ob- 

 tenir rintégrale, de trouver une solution d'une équation linéaire 



