ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 349 



et de reconnaître si une certaine intégrale abélienne n'a que deux 

 périodes. 



Seul le cas où le genre lu est égal à zéro échappe à la méthode; 

 cette circonstance se présentera d'ailleurs nécessairement quand 

 l'équation sera du premier degré par rapport à la dérivée. Quoi 

 qu'il en soit, on pourra toujours décider par un calcul régulier si 

 l'on ne se trouve pas dans le cas spécial où la méthode échoue. 



Dans les problèmes de cette nature, la plus grande difficulté 

 vient fréquemment de l'impossibiUté où l'on se trouve de fixer la 

 limite d'un entier arbitraire : cet entier est ici le nombre n des 

 valeurs de l'intégrale autour des points critiques mobiles. La mé- 

 thode de M. Painlevé permet de reconnaître dans un cas étendu 

 si l'intégrale a un nombre limité de valeurs, ce nombre n'étant 

 pas fixé à l'avance. Le cas est celui où cette intégrale est algé- 

 brique dans tout le plan. Des calculs purement algébriques per- 

 mettent de décider s'il en est ainsi dans l'hypothèse où le genre x 

 est plus grand que i . 



Dans l'hypothèse tu z= i, on ramène l'équation à une équation 

 de la forme 



dont l'intégrale doit être algébrique. 



Mais la méthode ne fournit aucun renseignement sur le cas de 



X 1= 0. 



Quand on s'est donné le nombre des valeurs que doit prendre la 

 fonction autour des points critiques mobiles, il est possible de ré- 

 soudre dans tous les cas le problème que s'est posé l'auteur; on 

 est ramené à une équation différentielle possédant des points cri- 

 tiques fixes; par suite l'intégration se fera soit par des calculs al- 

 gébriques, soit par des quadratures, ou enfin on aura à intégrer 

 une équation de Riccati. 



M. Painlevé fait ensuite connaître une seconde méthode plus 

 pratique, qu'il applique aux équations du premier ordre et du 

 premier degré et donne des exemples intéressants de cette forme 

 où il met en évidence les invariants relatifs à une substitution li- 

 néaire quelconque faite sur la fonction. 



La conclusion générale à laquelle l'auteur est conduit est iden- 

 tique à celle de M. Poincaré dans son étude générale des équa- 

 tions de M. Fuchs. Les intégrales générales à n valeurs des équa- 

 tions du premier ordre sont des transcendantes qui ne difTèrent 

 pas de celles que définissent les quadratures ou les équations li- 



