ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 351 



et [P;,Q] le déterminant 



pkii + gBii...pkin + qBin 



pkn\ + qBnl . . . pknn + q^nn 



[P,Q] est égal à un produit de n facteurs linéaires ap -\- bq, 

 distincts ou non. 



Soient /„ l'exposant du facteur ap + ^g'dans [P,Q] et /^ l'expo- 

 sant de ce même facteur dans le plus grand commun diviseur de 

 tous les mineurs d'ordre ::. 



On démontre que les exposants /,,, Z^, Z^,.-- vont nécessairement 

 en diminuant. Si donc on pose 



4 — /i=:eo, h — hzzei^ ...Ar—i — /r=:er— i, lr'=^er, 

 [Ir étant le dernier exposant / qui ne soit pas nul);, on aura 



/o = 60 + ^1 + -\-er—i-\-er, 



et p04ir l'exposant /^ du facteur aip + biq dans [P,Q] 

 ^1 = ^1 + 11-^' +^f (^=i,2,...m). 



Il résulte de là que le déterminant [P,Q] pourra être représenté 

 par le produit 



U[aip + biqy] (^■zz:l,2,...m;y = o, i,...n) 



Chacun des facteurs de ce produit est un diviseur élémentaire 

 du déterminant [P,Q]. 



La théorie des diviseurs élémentaires est intimement liée à celle 

 des former bilinéaires . 



Soient les deux formes bilinéaires 



P = 2IAapa?a?/^ 

 SizzSBapaîa^P 



aux mêmes in variables x^, Xn, •••^i, yn- Les déterminants de ces 

 formes sont par définition les déterminants [P] et [Q]. 

 Si l'on fait les substitutions 



(S) 



Xi — 2jj àij X j^ 



C Xi — 2jj ilij X j 



\yi—^jhjyj 



les formes P et Q deviendront P' et Q'. 

 Or les déterminants des deux formes 



pV + ^Q et pV + gQ' 



admettent les mêmes diviseurs élémentaires. 



Revue des Trav. scient. — T. XII, n** 4. 25 



