ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 353 



pondant aux n lignes du déterminant fondamental relatif à l'é- 

 quation (E). La dernière, celle qui correspond à la dernière ligne, 

 est l'adjointe de Lagrange, comuie l'a montré Jacobi. 



Si l'on connaît l'intégrale générale d'une des adjointes, on saura 

 intégrer l'équation donnée. Quand on connaît plusieurs solutions 

 particulières de l'une d'elles, il est facile d'avoir les solutions par- 

 ticulières de l'adjointe de Lagrange et par suite de simplifier l'in- 

 tégration de la proposée. 



Reste à former les adjointes. 11 suffît de remarquer qu'une équa- 

 tion d'ordre n — i, admettant n — i solutions communes avec 

 l'équation (E);,aura précisément pour coefficients les solutions des 

 adjointes correspondant aux différentes lignes du déterminant fon~ 

 damental de l'équation (E). Il suffira donc d'écrire que cette équa- 

 tion a n — 1 solutions communes avec l'équation (E) pour avoir n 

 relations desquelles il suffira d'éliminer w — i des quantités pour 

 avoir l'équation que l'on veut obtenir. 



Tel est l'objet de la première partie du mémoire; fauteur la 

 complète par une théorie de l'élimination relative aux équations 

 différentielles linéaires. 



Dans la seconde partie il imagine pour les équations différen- 

 tielles linéaires ordinaires une méthode de correspondance dou- 

 blement infinie analogue à celle que Laplace a inventée pour les 

 équations linéaires aux dérivées partielles du deuxième ordre. 



Partant d'une équation (E) il prend son adjointe de Lagrange 

 (Ej); pour l'équation (EJ il prend l'adjointe de la première ligne 

 (E^); pour celle-ci l'adjointe de Lagrange, etc. 



Enfin il forme une autre suite en prenant d'abord pour l'équa- 

 tion (E) l'adjointe de la première ligne, pour celle-ci l'adjointe de 

 Lagrange, etc. 



Cette suite doublement infinie est telle que, si l'on a l'intégrale 

 générale d'une équation de la suite^ on a, sans nouvelle intégra- 

 tion, Tintégrale générale de (E). Si l'on a une solution particulière 

 d'une équation paire, par exemple, on a sans nouvelle intégration 

 les solutions correspondantes de toutes les équations paires. 



M. Cels applique sa méthode à des classes particulières d'équa- 

 tions. 



Il prend d'abord les équations qui généralisent l'équation hyper- 

 géométrique. Dans ce cas toutes les équations de la suite ont la 

 même forme. L'application du procédé conduit à ce résultat : 

 Lorsque toutes les racines de l'équation déterminante du point co 

 sont entières et négatives, il faut et il suffit que les logarithmes 



