354 HEVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



disparaissent dans les développements des intégrales autour du 

 point critique oo pour que l'intégrale générale soit un polynôme. 



Qu'arrive-t-il lorsqu'une des équations delà suite a pour inté- 

 grale générale un polynôme? L'équation proposée s'intègre alors 

 sous forme finie ou par des quadratures lorsque les racines de Té- 

 quation déterminante du point oo sont entières et que certaines 

 conditions algébriques sont réalisées. En particulier, lorsque toutes 

 les racines de cette équation déterminante sont entières et posi- 

 tives, pour que l'intégrale générale soit une fraction rationnelle, 

 il faut et il suffit que les logarithmes disparaissent dans les déve- 

 loppements des intégrales autour du point oo . Enfin l'application 

 de ces résultats à une équation déjà considérée par M. Goursat 

 conduit à une proposition très simple qui décide des cas où l'inté- 

 gration se fait par la méthode de M. Gels. 



Appliquée à l'équation du deuxième ordre, cette méthode fournit 

 une formule contenant des dérivées à indice quelconque qui ex- 

 prime l'intégrale générale de cette équation. 



L'auteur aborde ensuite l'étude de l'équation 



d^z ^ ^d^'-H , , ^ dz ^ 

 dx^ ' c?a?«-i ' ' dx ' 



qui généralise dans les ordres supérieurs l'équation de Bessel. Il 

 montre que l'intégration s'en fait aisément dans deux cas : 



1° Quand les racines de l'équation déterminante du point o sont 



0, i-\-pn, 2+pn, ... ,(w— i) + pw, 



p étant un entier; 



2° Lorsque ces racines sont 



i-j-pw, 9.-\-pn, ... [n — i)-\-pn, (n~-\)-^qn 

 ou 



(n — i)-\-'pn, (n — 2) + jon, . . . 2 -f pn, 1 -f ^n, 



p ei q étant deux entiers positifs ou négatifs. 



Ces résultats conduisent à l'intégration des équations du deuxiè- 

 me et du troisième ordre dans tous les cas où l'intégrale générale 

 est uniforme autour du point 0; il n'en est pas de même pour les 

 équations d'ordre supérieur, parce que, dans une équation d'ordre 

 n, les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'intégrale 

 générale soit uniforme autour du point critique sont que les ra- 

 cines de l'équation déterminante du point soient respectivement 

 1^ 2^,..(^_t)à un multiple de w près, qui n'est pas le même pour 

 ' toutes les intégrales. 



