ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 355 



Dans la troisième partie de son mémoire, M. Gels étudie le cas 

 où, dans la suite des équations correspondant à l'équation (E), il 

 se trouve une équation identique à la proposée. Le cas le plus in- 

 téressant est celui où la suite est périodique, c'est-à-dire où (E) := 

 (Esn). Dans ce cas llntégration est possible. Les équations appar- 

 tiennent à la classe de celles que l'on peut ramener aux équations 

 linéaires à coefficients constants par un changement de fonction 

 suivi d'un changement de variable. 



L'auteur montre ensuite qu'il existe autant de méthodes de cor- 

 respondance doublement infinie qu'il y a de combinaisons de li- 

 gnes deux à deux dans le déterminant fondamental. 



Il existe des correspondances plus que doublement infinies; on 

 les obtient en considérant, par exemple, trois lignes du détermi- 

 nant fondamental; on a alors une correspondance sextuplement 

 infinie. 



Ces correspondances permettent de généraliser de plus en plus 

 les caractères d'intégrabilité d'une équation. 



Sur les équations aux dérivées partielles simultanées qui contien- 

 nent PLUSIEURS FONCTIONS INCONNUES, par M. BouRLET. {Annales de 

 t' École normale, t. VIÏI, 1891, Supplément, p. 3-63.) 



Ce travail est divisé en trois parties. 



Dans la première, M. Bourlet établit la condition nécessaire et 

 suffisante pour qu'un système d'équations aux dérivées partielles 

 simultanées admette comme système d'intégrales le plus général 

 un système dépendant d'un nombre fini de constantes arbitraires. 

 Cette condition avait déjà été énoncée et démontrée d'une autre 

 manière par M. Sophus Lie. 



On sait ce qu'on entend par système complètement intégrable 

 de mn équations aux dérivées partielles du premier ordre, à m 

 fonctions u^, u^, ...u et h n variables x^, x^, .,,, Xn. 



(1) -^ -^fik {izzi,2, ..., m;Â;z=i,2,...,n). 



C'est un système où les fonctions fik satisfont aux relations 



, ^ A /. __ ^fih , àfih 

 àUm OXk OW, 



zz 1, 2, ...,m;Â;,Ai=i,2, ...,w). 



à fik à fik . à fik j, ô/i/i ô/i/i ^fih . 



d7 + ô^/^^+-'"^ô^^"^-ôï;+ô^^^''+-+ô^^"' 



